一辺の長さが10の正三角形 $ABC$ がある。点 $A$ を通る円が辺 $BC$ （端点を除く）と点 $X$ で接し、辺 $AB$, $AC$ とそれぞれ点 $D$, $E$ で交わっている。$BX > CX$ であり、$AD + AE = 13$ が成り立つとき、線分 $BX$ の長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが10の正三角形 $ABC$ がある。点 $A$ を通る円が辺 $BC$ （端点を除く）と点 $X$ で接し、辺 $AB$, $AC$ とそれぞれ点 $D$, $E$ で交わっている。$BX > CX$ であり、$AD + AE = 13$ が成り立つとき、線分 $BX$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、$AD = x$ とおくと、$AE = 13 - x$ となる。方べきの定理より、$AD \cdot AB = AX^2$ かつ $AE \cdot AC = AX^2$ が成り立つ。

したがって、$AD \cdot AB = AE \cdot AC$ である。$AB = AC = 10$ より、$10x = 10(13-x)$となり、$x = 13-x$ が導かれる。しかし、これは $x = 6.5$ を意味し、$AD + AE = 13$ という条件のみからでは、$AD, AE$ それぞれの長さは一意に定まらないことを意味する。

円が $BC$ と点 $X$ で接するので、$BX^2 = BD \cdot BA$ が成り立つ。$BD = BA - AD = 10 - x$ なので、$BX^2 = (10 - x) \cdot 10$ である。

同様に、$CX^2 = CE \cdot CA$ が成り立つ。$CE = CA - AE = 10 - (13 - x) = x - 3$ なので、$CX^2 = (x - 3) \cdot 10$ である。

$BC = BX + CX = 10$ より、$CX = 10 - BX$ であるから、$(10 - BX)^2 = 10(x - 3)$ が成り立つ。

ここで、$BX = t$ とおくと、$t^2 = 10(10 - x)$ および $(10 - t)^2 = 10(x - 3)$ が成り立つ。

よって、$t^2 = 100 - 10x$ かつ $100 - 20t + t^2 = 10x - 30$ である。

これらの式を足し合わせると、

$2t^2 - 20t + 100 = 70$ となり、$2t^2 - 20t + 30 = 0$ が得られる。

$t^2 - 10t + 15 = 0$ を解くと、$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 60}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 5 \pm \sqrt{10}$ である。

$BX > CX$ より、$BX > 5$ なので、$BX = 5 + \sqrt{10}$ である。

3. 最終的な答え

$BX = 5 + \sqrt{10}$