次の3つの数を小さい順に並べます。 $\frac{1}{2} \log_3 5$, $-\log_3 \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$

1. 問題の内容

次の3つの数を小さい順に並べます。

$\frac{1}{2} \log_3 5$, $-\log_3 \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

まず、各数を比較しやすい形に変形します。

$\frac{1}{2} \log_3 5 = \log_3 5^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{5}$

$-\log_3 \frac{1}{2} = - \log_3 2^{-1} = - (-1) \log_3 2 = \log_3 2$

$\frac{1}{2} = \log_3 3^{\frac{1}{2}} = \log_3 \sqrt{3}$

ここで、$\sqrt{3} \approx 1.732$, $\sqrt{5} \approx 2.236$ であることを知っておくと便利です。

また、$2 = \sqrt{4}$ であることを用います。

よって、$2 = \sqrt{4} > \sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$ であるから、$\log_3 2 > \log_3 \sqrt{3} > \log_3 1 = 0$。

同様に、$\sqrt{5} > \sqrt{4}$ であるから、$\log_3 \sqrt{5} > \log_3 2$。

したがって、$\log_3 2 < \log_3 \sqrt{3} < \log_3 \sqrt{5}$ となります。

元の数に戻すと、$-\log_3 \frac{1}{2} < \frac{1}{2} < \frac{1}{2} \log_3 5$ となります。

3. 最終的な答え

$-\log_3 \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \log_3 5$