問題2の(1)と(3), (2)と(4)そして問題3の(1)と(2)の式をそれぞれ簡単にします。

1. 問題の内容

問題2の(1)と(3), (2)と(4)そして問題3の(1)と(2)の式をそれぞれ簡単にします。

2. 解き方の手順

問題2:

(1) $\sqrt{12}-\sqrt{27}+4\sqrt{3}$ を簡単にする。

まず、各項の根号の中身を素因数分解して整理する。

$\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{12}-\sqrt{27}+4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}-3\sqrt{3}+4\sqrt{3} = (2-3+4)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{5}\sqrt{30}+2\sqrt{24}-3\sqrt{54}$ を簡単にする。

まず、各項の根号の中身を素因数分解して整理する。

$\sqrt{5}\sqrt{30} = \sqrt{5 \cdot 30} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$2\sqrt{24} = 2\sqrt{2^3 \cdot 3} = 2 \cdot 2 \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

$3\sqrt{54} = 3\sqrt{2 \cdot 3^3} = 3 \cdot 3 \sqrt{6} = 9\sqrt{6}$

したがって、

$\sqrt{5}\sqrt{30}+2\sqrt{24}-3\sqrt{54} = 5\sqrt{6}+4\sqrt{6}-9\sqrt{6} = (5+4-9)\sqrt{6} = 0$

(3) $(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+3\sqrt{2})$ を簡単にする。

$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+3\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}(3\sqrt{2}) - \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}(3\sqrt{2})$

$= 2(3) + 6\sqrt{6} - \sqrt{6} - 3(2) = 6 + 6\sqrt{6} - \sqrt{6} - 6 = 5\sqrt{6}$

(4) $(1+2\sqrt{5})^2 - (1-2\sqrt{5})^2$ を簡単にする。

$(1+2\sqrt{5})^2 = 1 + 4\sqrt{5} + 4(5) = 1 + 4\sqrt{5} + 20 = 21 + 4\sqrt{5}$

$(1-2\sqrt{5})^2 = 1 - 4\sqrt{5} + 4(5) = 1 - 4\sqrt{5} + 20 = 21 - 4\sqrt{5}$

したがって、

$(1+2\sqrt{5})^2 - (1-2\sqrt{5})^2 = (21 + 4\sqrt{5}) - (21 - 4\sqrt{5}) = 8\sqrt{5}$

問題3:

(1) $\sqrt{(\sqrt{3}-4)^2}$ を簡単にする。

$\sqrt{a^2} = |a|$ であるので、$\sqrt{(\sqrt{3}-4)^2} = |\sqrt{3}-4|$

$\sqrt{3} \approx 1.732$ であり、$\sqrt{3} < 4$ であるため、$\sqrt{3}-4 < 0$

したがって、 $|\sqrt{3}-4| = -(\sqrt{3}-4) = 4-\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4}$ を簡単にする。

$\sqrt{a^4+2a^2b^2+b^4} = \sqrt{(a^2+b^2)^2} = |a^2+b^2|$

$a^2 \geq 0$ かつ $b^2 \geq 0$ であるため、$a^2+b^2 \geq 0$

したがって、 $|a^2+b^2| = a^2+b^2$

3. 最終的な答え

問題2:

(1) $3\sqrt{3}$

(2) $0$

(3) $5\sqrt{6}$

(4) $8\sqrt{5}$

問題3:

(1) $4-\sqrt{3}$

(2) $a^2+b^2$