与えられた式 $a^4 - 16b^4$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^4 - 16b^4$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、差の平方の形 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を利用して因数分解できます。

まず、$a^4 - 16b^4$ を平方の差の形に変形します。

$a^4 = (a^2)^2$ であり、$16b^4 = (4b^2)^2$ であるため、

$a^4 - 16b^4 = (a^2)^2 - (4b^2)^2$ となります。

したがって、

$a^4 - 16b^4 = (a^2 + 4b^2)(a^2 - 4b^2)$ と因数分解できます。

さらに、$a^2 - 4b^2$ の項は、再度差の平方の形になっているため、因数分解できます。$4b^2 = (2b)^2$ なので、$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a + 2b)(a - 2b)$ となります。

よって、

$a^4 - 16b^4 = (a^2 + 4b^2)(a + 2b)(a - 2b)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a^2 + 4b^2)(a + 2b)(a - 2b)$