次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。 (1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ (2) $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(1) $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$

(2) $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

第$k$項は、$2+4+6+8+\dots+2k$ と表される。

これは $2(1+2+3+4+\dots+k) = 2 \cdot \frac{1}{2} k(k+1) = k(k+1) = k^2 + k$ となる。

よって求める和は、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) + \frac{1}{2} n(n+1)$

$= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1+3) = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+4)$

$= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2)

第$k$項は、$1+3+9+27+\dots+3^{k-1}$ と表される。

これは初項1、公比3の等比数列の和であるから、

$\frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}$ となる。

よって求める和は、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 3^k - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 1$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3(3^n - 1)}{3-1} - \frac{n}{2}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3(3^n - 1)}{2} - \frac{n}{2}$

$= \frac{3(3^n-1)}{4} - \frac{2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4} = \frac{3^{n+1}-2n-3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(2) $\frac{3^{n+1}-2n-3}{4}$