与えられた数列の規則性を見つけ、一般項を求める問題です。数列は、$1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ と続いています。

1. 問題の内容

与えられた数列の規則性を見つけ、一般項を求める問題です。数列は、$1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ と続いています。

2. 解き方の手順

数列の各項を計算してみましょう。

第1項: $1 + 3 = 4$

第2項: $1 + 3 + 9 = 13$

第3項: $1 + 3 + 9 + 27 = 40$

数列は、$4, 13, 40, \dots$ となります。

各項は、初項が1で公比が3の等比数列の和になっています。

第n項は、$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$ で表されます。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

この問題の場合、$a=1$、$r=3$ なので、第n項は、

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

と表されます。

3. 最終的な答え

与えられた数列の一般項は、$\frac{3^n - 1}{2}$ です。