与えられた数列の和を求める問題です。 (1) は $1 \cdot (n+1), 2 \cdot (n+2), 3 \cdot (n+3), \dots, n \cdot (n+n)$ の和を求めます。 (2) は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。

(1) は $1 \cdot (n+1), 2 \cdot (n+2), 3 \cdot (n+3), \dots, n \cdot (n+n)$ の和を求めます。

(2) は $1^2 \cdot n, 2^2 \cdot (n-1), 3^2 \cdot (n-2), \dots, n^2 \cdot 1$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

数列の第 $k$ 項は $k(n+k)$ と表されます。したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} k(n+k) = \sum_{k=1}^{n} (nk + k^2) = n \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、求める和は

$n \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^2(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1) + n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(3n+2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$

(2)

数列の第 $k$ 項は $k^2(n-k+1)$ と表されます。したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} k^2(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) = n \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

よって、求める和は

$n \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)(n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$= \frac{2n(n+1)^2(2n+1) - 3n^2(n+1)^2}{12} = \frac{n(n+1)^2(4n+2-3n)}{12} = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(5n+1)}{6}$

(2) $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$