与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、(1) $(1+i)^{12}$ と (2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の累乗を計算する問題です。具体的には、(1) $(1+i)^{12}$ と (2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $(1+i)^{12}$ の計算:

複素数を極形式で表すと計算が簡単になります。

$1+i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、 $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$

ド・モアブルの定理より、

$(1+i)^{12} = (\sqrt{2})^{12} (\cos \frac{12\pi}{4} + i \sin \frac{12\pi}{4})$

$(\sqrt{2})^{12} = (2^{1/2})^{12} = 2^6 = 64$

$\cos \frac{12\pi}{4} = \cos 3\pi = \cos \pi = -1$

$\sin \frac{12\pi}{4} = \sin 3\pi = \sin \pi = 0$

$(1+i)^{12} = 64(-1+0i) = -64$

(2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4}$ の計算:

同様に極形式で表します。

$-\sqrt{3}+i = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ とおくと、

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$, $\sin \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

したがって、 $-\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})$

$(-\sqrt{3}+i)^{-4} = (2(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}))^{-4}$

$= 2^{-4} (\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6})^{-4}$

$= \frac{1}{16} (\cos (-\frac{20\pi}{6}) + i \sin (-\frac{20\pi}{6}))$

$-\frac{20\pi}{6} = -\frac{10\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3}$

$\cos (-\frac{20\pi}{6}) = \cos (\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\sin (-\frac{20\pi}{6}) = \sin (\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$(-\sqrt{3}+i)^{-4} = \frac{1}{16} (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{32} + i\frac{\sqrt{3}}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $(1+i)^{12} = -64$

(2) $(-\sqrt{3}+i)^{-4} = -\frac{1}{32} + i\frac{\sqrt{3}}{32}$