与えられた数列 $1 \cdot n, 3(n-1), 5(n-2), \dots, (2n-1) \cdot 1$ について、以下の問題を解きます。 (1) 第 $k$ 項を $n$ と $k$ を用いた式で表す。 (2) 数列の和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1 \cdot n, 3(n-1), 5(n-2), \dots, (2n-1) \cdot 1$ について、以下の問題を解きます。

(1) 第 $k$ 項を $n$ と $k$ を用いた式で表す。

(2) 数列の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $k$ 項を求める。

与えられた数列の一般項を $a_k$ とすると、$a_k$ は $k$ 番目の項を表します。

数列の最初の項は $1 \cdot n$, 2番目の項は $3(n-1)$, 3番目の項は $5(n-2)$ となっています。

この数列の $k$ 番目の項を考えると、$k$ 番目の項の左側の数は、$1, 3, 5, \dots$ という等差数列になっており、その一般項は $2k - 1$ です。

$k$ 番目の項の右側の数は、$n, n-1, n-2, \dots$ という等差数列になっており、その一般項は $n - (k - 1) = n - k + 1$ です。

したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は以下のようになります。

$a_k = (2k - 1)(n - k + 1)$

(2) 数列の和を求める。

数列の和 $S_n$ は、$\sum_{k=1}^{n} a_k$ で表されます。

したがって、$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)(n - k + 1)$ を計算します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)(n - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (2kn - 2k^2 + 2k - n + k - 1)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-2k^2 + (2n + 3)k - (n + 1))$

$S_n = -2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + (2n + 3) \sum_{k=1}^{n} k - (n + 1) \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ より、

$S_n = -2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (2n + 3) \frac{n(n+1)}{2} - (n + 1)n$

$S_n = -\frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{(2n+3)n(n+1)}{2} - n(n+1)$

$S_n = n(n+1) \left( -\frac{2n+1}{3} + \frac{2n+3}{2} - 1 \right)$

$S_n = n(n+1) \left( \frac{-2(2n+1) + 3(2n+3) - 6}{6} \right)$

$S_n = n(n+1) \left( \frac{-4n-2+6n+9-6}{6} \right)$

$S_n = n(n+1) \left( \frac{2n+1}{6} \right)$

$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 第 $k$ 項：$(2k - 1)(n - k + 1)$

(2) 数列の和：$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$