複素数 $z$ に関する以下の方程式を満たす点 $z$ 全体の集合が、どのような図形になるかを答える問題です。 (1) $|z-3| = 1$ (2) $|z+2i| = 2$ (3) $|z+2| = |z-i|$ (4) $|z+2+5i| = |z-1+3i|$

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する以下の方程式を満たす点 $z$ 全体の集合が、どのような図形になるかを答える問題です。

(1) $|z-3| = 1$

(2) $|z+2i| = 2$

(3) $|z+2| = |z-i|$

(4) $|z+2+5i| = |z-1+3i|$

2. 解き方の手順

(1) $z = x+yi$ とおく（$x, y$ は実数）。

$|z-3| = |x+yi - 3| = |(x-3) + yi| = \sqrt{(x-3)^2 + y^2} = 1$

両辺を2乗して $(x-3)^2 + y^2 = 1$

これは中心 $(3, 0)$、半径1の円を表します。

(2) $z = x+yi$ とおく。

$|z+2i| = |x+yi + 2i| = |x + (y+2)i| = \sqrt{x^2 + (y+2)^2} = 2$

両辺を2乗して $x^2 + (y+2)^2 = 4$

これは中心 $(0, -2)$、半径2の円を表します。

(3) $z = x+yi$ とおく。

$|z+2| = |x+yi+2| = |(x+2)+yi| = \sqrt{(x+2)^2 + y^2}$

$|z-i| = |x+yi-i| = |x+(y-1)i| = \sqrt{x^2+(y-1)^2}$

$\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2+(y-1)^2}$

両辺を2乗して $(x+2)^2 + y^2 = x^2+(y-1)^2$

$x^2+4x+4+y^2 = x^2+y^2-2y+1$

$4x+4 = -2y+1$

$4x+2y+3=0$

$2y = -4x-3$

$y = -2x - \frac{3}{2}$

これは傾きが-2, y切片が$-\frac{3}{2}$の直線を表します。

(4) $z = x+yi$ とおく。

$|z+2+5i| = |x+yi+2+5i| = |(x+2)+(y+5)i| = \sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2}$

$|z-1+3i| = |x+yi-1+3i| = |(x-1)+(y+3)i| = \sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}$

$\sqrt{(x+2)^2+(y+5)^2} = \sqrt{(x-1)^2+(y+3)^2}$

両辺を2乗して $(x+2)^2+(y+5)^2 = (x-1)^2+(y+3)^2$

$x^2+4x+4+y^2+10y+25 = x^2-2x+1+y^2+6y+9$

$4x+10y+29 = -2x+6y+10$

$6x+4y+19=0$

$4y = -6x-19$

$y = -\frac{3}{2}x - \frac{19}{4}$

これは傾きが$-\frac{3}{2}$, y切片が$-\frac{19}{4}$の直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(3, 0)$、半径1の円

(2) 中心 $(0, -2)$、半径2の円

(3) 直線 $y = -2x - \frac{3}{2}$

(4) 直線 $y = -\frac{3}{2}x - \frac{19}{4}$