与えられた式 $x^2 + xy - 4x - y + 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 4x - y + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + xy - 4x - y + 3 = x^2 + (y - 4)x - (y - 3)$

次に、与えられた式が因数分解できると仮定し、$(x+a)(x+b)$ の形になることを目指します。ここで、$a$ と $b$ は $y$ の関数です。展開すると

$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

したがって、

$a+b = y - 4$

$ab = -(y - 3) = -y + 3$

これらの2つの式を満たす $a$ と $b$ を見つけます。

$a+b = y-4$ なので $b = y-4-a$　これを $ab = -y+3$ に代入します。

$a(y-4-a) = -y+3$

$ay - 4a - a^2 = -y+3$

$a^2 - (y-4)a - y + 3 = 0$

この $a$ についての2次方程式を解くには、少し工夫が必要です。与式を $y$ について整理すると、

$x^2 + xy - 4x - y + 3 = y(x-1) + x^2 - 4x + 3$

ここで、$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ なので、

$y(x-1) + (x-1)(x-3) = (x-1)(y + x - 3) = (x-1)(x+y-3)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+y-3)$