2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の最大値と最小値を求めます。さらに、定義域が $-2 \le x \le 2$ である場合の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 1$ の最大値と最小値を求めます。さらに、定義域が $-2 \le x \le 2$ である場合の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 1$

$y = 2(x^2 - 2x) + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = 2((x - 1)^2 - 1) + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 2 + 1$

$y = 2(x - 1)^2 - 1$

この式から、頂点の座標が $(1, -1)$ であり、下に凸の放物線であることがわかります。

したがって、$x = 1$ のとき最小値 $-1$ をとります。

定義域が指定されていない場合、最大値は存在しません。

次に、定義域が $-2 \le x \le 2$ の場合を考えます。

$y = 2(x - 1)^2 - 1$において、

$x = 1$ は定義域に含まれているので、$x = 1$ で最小値 $-1$ をとります。

最大値を求めるには、定義域の端点である $x = -2$ と $x = 2$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = -2$ のとき、

$y = 2(-2 - 1)^2 - 1 = 2(-3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$

$x = 2$ のとき、

$y = 2(2 - 1)^2 - 1 = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、$x = -2$ のとき最大値 $17$ をとります。

3. 最終的な答え

定義域が指定されていない場合：

最小値: $-1$ ($x=1$のとき)

最大値: なし

定義域が $-2 \le x \le 2$ の場合：

最小値: $-1$ ($x=1$のとき)

最大値: $17$ ($x=-2$のとき)