与えられた2つの二重和を計算します。 (1) $\sum_{m=1}^{n} \{\sum_{k=1}^{m} (3k+1)\}$ (2) $\sum_{m=1}^{n} \{\sum_{l=1}^{m} (\sum_{k=1}^{l} 2k)\}$

1. 問題の内容

与えられた2つの二重和を計算します。

(1) $\sum_{m=1}^{n} \{\sum_{k=1}^{m} (3k+1)\}$

(2) $\sum_{m=1}^{n} \{\sum_{l=1}^{m} (\sum_{k=1}^{l} 2k)\}$

2. 解き方の手順

(1) まず、内側の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{m} (3k+1) = 3 \sum_{k=1}^{m} k + \sum_{k=1}^{m} 1 = 3 \cdot \frac{m(m+1)}{2} + m = \frac{3m^2 + 3m}{2} + \frac{2m}{2} = \frac{3m^2 + 5m}{2}$.

次に、外側の和を計算します。

$\sum_{m=1}^{n} \frac{3m^2 + 5m}{2} = \frac{3}{2} \sum_{m=1}^{n} m^2 + \frac{5}{2} \sum_{m=1}^{n} m = \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} + \frac{5n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)(2n+1+5)}{4} = \frac{n(n+1)(2n+6)}{4} = \frac{n(n+1)(n+3)}{2}$.

(2) まず、最も内側の和を計算します。

$\sum_{k=1}^{l} 2k = 2 \sum_{k=1}^{l} k = 2 \cdot \frac{l(l+1)}{2} = l(l+1) = l^2+l$.

次に、2番目の和を計算します。

$\sum_{l=1}^{m} (l^2 + l) = \sum_{l=1}^{m} l^2 + \sum_{l=1}^{m} l = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} + \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(m+1)(2m+1) + 3m(m+1)}{6} = \frac{m(m+1)(2m+1+3)}{6} = \frac{m(m+1)(2m+4)}{6} = \frac{m(m+1)(m+2)}{3}$.

最後に、外側の和を計算します。

$\sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)(m+2)}{3} = \frac{1}{3} \sum_{m=1}^{n} m(m+1)(m+2)$.

ここで、$m(m+1)(m+2) = \frac{(m+2)!}{(m-1)!} = 6 \binom{m+2}{3}$に注意する。

$\sum_{m=1}^{n} m(m+1)(m+2) = 6 \sum_{m=1}^{n} \binom{m+2}{3} = 6 \binom{n+3}{4}$.

従って、

$\sum_{m=1}^{n} \frac{m(m+1)(m+2)}{3} = \frac{1}{3} \cdot 6 \binom{n+3}{4} = 2 \binom{n+3}{4} = 2 \cdot \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{(n+3)(n+2)(n+1)n}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{12}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n+3)}{2}$

(2) $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{12}$