与えられた2つの数列の初項から第n項までの和をそれぞれ求める問題です。 (1) $1\cdot2\cdot3, 2\cdot3\cdot5, 3\cdot4\cdot7, \dots$ (2) $1^2+1\cdot2+2^2, 2^2+2\cdot3+3^2, 3^2+3\cdot4+4^2, \dots$

1. 問題の内容

与えられた2つの数列の初項から第n項までの和をそれぞれ求める問題です。

(1) $1\cdot2\cdot3, 2\cdot3\cdot5, 3\cdot4\cdot7, \dots$

(2) $1^2+1\cdot2+2^2, 2^2+2\cdot3+3^2, 3^2+3\cdot4+4^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項を求め、$\Sigma$を使って和を計算します。

数列の第k項は、$k(k+1)(2k+1)$で表されます。

よって、数列の和は、$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1)$で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (2k^3 + 3k^2 + k)$

$= 2\sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$= 2\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 + 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{2} [n(n+1) + (2n+1) + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{2} [n^2+n+2n+2]$

$= \frac{n(n+1)}{2} (n^2+3n+2)$

$= \frac{n(n+1)(n+1)(n+2)}{2}$

$= \frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}$

(2) 数列の一般項を求め、$\Sigma$を使って和を計算します。

数列の第k項は、$k^2 + k(k+1) + (k+1)^2$で表されます。

よって、数列の和は、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k(k+1) + (k+1)^2)$で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k(k+1) + (k+1)^2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k^2 + k + k^2 + 2k + 1)$

$= \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1)$

$= 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$= 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) + 2]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 + 3n + 3 + 2]$

$= \frac{n}{2} (2n^2 + 6n + 6)$

$= n(n^2 + 3n + 3)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{2}$

(2) $n(n^2 + 3n + 3)$