数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の最初の $n$ 項の和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ の最初の $n$ 項の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、第 $k$ 項を求めます。第 $k$ 項は $1+3+9+\dots+3^{k-1}$ であり、これは初項1、公比3の等比数列の和なので、

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\frac{1(3^k - 1)}{3-1} = \frac{3^k - 1}{2}

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となります。

次に、求める和は、第1項から第 $n$ 項までの和なので、

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\sum_{k=1}^n \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (3^k - 1) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n 3^k - \sum_{k=1}^n 1 \right)

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ここで、$\sum_{k=1}^n 3^k$ は初項3、公比3の等比数列の和なので、

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\sum_{k=1}^n 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}

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また、$\sum_{k=1}^n 1 = n$ なので、

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\frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^n 3^k - \sum_{k=1}^n 1 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3(3^n - 1)}{2} - n \right) = \frac{3(3^n - 1) - 2n}{4} = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}

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となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$