与えられた分数の分母を有理化し、可能な限り簡単な形にする問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、可能な限り簡単な形にする問題です。与えられた分数は $\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分子と分母の両方に掛けます。この場合、分母 $\sqrt{7}+3$ の共役な複素数は $\sqrt{7}-3$ です。

したがって、次のように計算します。

$\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3} = \frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3} \cdot \frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}-3}$

$= \frac{(\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}-3)}{(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)}$

分子を展開します。

$(\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}-3) = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{7} + 3^2 = 7 - 6\sqrt{7} + 9 = 16 - 6\sqrt{7}$

分母を展開します。

$(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3) = (\sqrt{7})^2 - 3^2 = 7 - 9 = -2$

したがって、

$\frac{\sqrt{7}-3}{\sqrt{7}+3} = \frac{16 - 6\sqrt{7}}{-2} = \frac{2(8-3\sqrt{7})}{-2} = -8 + 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$-8 + 3\sqrt{7}$