与えられた写像 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が線形写像であるかどうかを理由とともに答えます。写像 $f$ は次のように定義されています。 $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x + y + z \\ -3x + 4y \end{array}\right)$

1. 問題の内容

与えられた写像 $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ が線形写像であるかどうかを理由とともに答えます。写像 $f$ は次のように定義されています。

$f\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x + y + z \\ -3x + 4y \end{array}\right)$

2. 解き方の手順

写像 $f$ が線形写像であるためには、次の2つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ (加法性)

(2) $f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$ (斉次性)

ここで、$\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ は $\mathbb{R}^3$ の任意のベクトルであり、$c$ は任意のスカラーです。

まず、加法性を確認します。$\mathbf{u} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array}\right)$ と $\mathbf{v} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array}\right)$ とします。

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{array}{c} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) \\ -3(x_1 + x_2) + 4(y_1 + y_2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (2x_1 + y_1 + z_1) + (2x_2 + y_2 + z_2) \\ (-3x_1 + 4y_1) + (-3x_2 + 4y_2) \end{array}\right)$

一方、$f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = \left(\begin{array}{c} 2x_1 + y_1 + z_1 \\ -3x_1 + 4y_1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} 2x_2 + y_2 + z_2 \\ -3x_2 + 4y_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} (2x_1 + y_1 + z_1) + (2x_2 + y_2 + z_2) \\ (-3x_1 + 4y_1) + (-3x_2 + 4y_2) \end{array}\right)$

したがって、$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ が成り立ちます。

次に、斉次性を確認します。

$f(c\mathbf{u}) = f\left(\begin{array}{c} cx_1 \\ cy_1 \\ cz_1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2(cx_1) + (cy_1) + (cz_1) \\ -3(cx_1) + 4(cy_1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} c(2x_1 + y_1 + z_1) \\ c(-3x_1 + 4y_1) \end{array}\right) = c\left(\begin{array}{c} 2x_1 + y_1 + z_1 \\ -3x_1 + 4y_1 \end{array}\right) = cf(\mathbf{u})$

したがって、$f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$ が成り立ちます。

加法性と斉次性が成り立つため、$f$ は線形写像です。

3. 最終的な答え

$f$ は線形写像である。