不等式 $x \geq 2a-3$ (不等式①) と $ |x+a-2| < 6 $ (不等式②) が与えられています。 (1) 不等式②の解を $a$ を含む式で表す。 (2) 不等式②の解と、連立不等式①、②の解が一致するときの、集合Aと集合Bの関係を求める ($A=\{x | x \geq 2a-3 \}, B=\{x | |x+a-2| < 6 \}$)。 (3) 連立不等式①、②の解が一致するときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $x \geq 2a-3$ (不等式①) と $|x+a-2| < 6$ (不等式②) が与えられています。

(1) 不等式②の解を $a$ を含む式で表す。

(2) 不等式②の解と、連立不等式①、②の解が一致するときの、集合Aと集合Bの関係を求める ($A=\{x | x \geq 2a-3 \}, B=\{x | |x+a-2| < 6 \}$)。

(3) 連立不等式①、②の解が一致するときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式② $|x+a-2| < 6$ を解く。絶対値の性質より、

$-6 < x+a-2 < 6$

各辺から $a-2$ を引くと

$-6 - (a-2) < x < 6 - (a-2)$

$-a-4 < x < -a+8$

したがって、シは4, ソは8となる。

(2) 不等式②の解と、連立不等式①、②の解が一致するということは、不等式②の解が不等式①の解に含まれるということである。

つまり、$B \subset A$ である。したがって、チは4である。

(3) 不等式②の解 $-a-4 < x < -a+8$ と、不等式①の解 $x \geq 2a-3$ から、

連立不等式①、②の解が一致するためには、$-a+8 \geq 2a-3$ が成り立つ必要がある。

また、不等式①を満たすすべての $x$ が、不等式②を満たすためには、

$-a-4 \leq 2a-3$となる必要がある。

(4) 不等式②の解集合が不等式①の解集合に含まれるためには、$2a-3$ が $-a-4$ より大きいか等しい必要がある。つまり、$2a-3 \leq -a+8$ が必要である。

(5)連立不等式①、②の解が一致するためには、不等式②の解が不等式①の解集合に含まれる。

$2a-3 < -a+8$が必要。

$2a - 3 \leq -a+8$

$3a \leq 11$

$a \leq \frac{11}{3}$

したがって、$a \leq \frac{11}{3}$。ツは2、テトは11、ナは3となる。

3. 最終的な答え

シ: 4

ソ: 8

チ: 4

ツ: 2

タ: 2

テト: 11

ナ: 3