3人の生徒と先生が不等式 $x - 2a \geq -3$ (1) $|x+a-2|<6$ (2) について議論している。$a$は定数である。彼らの会話を読み、(1)から(3)の問題に答える。

1. 問題の内容

3人の生徒と先生が不等式

$x - 2a \geq -3$ (1)

$|x+a-2|<6$ (2)

について議論している。$a$は定数である。彼らの会話を読み、(1)から(3)の問題に答える。

2. 解き方の手順

(1) $a=0$のとき、不等式(2)の解を求める。

不等式(2)は$|x-2|<6$となる。

$-6 < x-2 < 6$

$-6+2 < x < 6+2$

$-4 < x < 8$

(2) $x=1$が不等式(1)を満たさないような$a$の値の範囲を求める。

$x=1$が不等式(1)を満たさないということは、$1 - 2a < -3$となる。

$-2a < -4$

$2a > 4$

$a > 2$

不等式(1)を$x$について解くと、$x \geq 2a - 3$となる。$x=1$が不等式(1)を満たさないということは、$1 < 2a - 3$となる。

$4 < 2a$

$2 < a$

したがって、$a > 2$となる。

(3) 不等式(2)の解と、連立不等式(1)、(2)の解が一致するような$a$の値の範囲を求める。

不等式(1)の解は$x \geq 2a - 3$である。

不等式(2)は$|x+a-2|<6$なので、$-6 < x+a-2 < 6$より、

$-6 - a + 2 < x < 6 - a + 2$

$-a - 4 < x < 8 - a$

連立不等式(1),(2)の解が一致するためには、不等式(2)の解が不等式(1)の解に含まれる必要がある。つまり、$x \geq 2a - 3$を満たす必要がある。

$A=\{x | x \geq 2a-3\}$, $B=\{x | |x+a-2| < 6\}$とすると、$A \supset B$となる。

これは、$2a - 3 \leq -a - 4$のときに成り立つ。

$3a \leq -1$

$a \leq -\frac{1}{3}$

また、$8 - a$が不等式を満たさなくてはならない。

3. 最終的な答え

(1) オカ：-4, キ：8

(2) ク：> (0), ケ：< (1), コ：> (0), サ：2

シ：a, ソ：-, テト：4, ナ：3

(3) ス：⊃ (5), セ：⊃ (5), チ：⊃ (5), ツ：< (1), タ：AnB=B (2), ソ：-, テト：1, ナ：3