与えられた数式の総和を計算します。数式は$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2)$です。

1. 問題の内容

与えられた数式の総和を計算します。数式は$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2)$です。

2. 解き方の手順

与えられた総和を2つの部分に分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2) = \sum_{k=1}^{n} 3^k + \sum_{k=1}^{n} 2$

一つ目の総和は等比数列の和です。初項は$3^1 = 3$、公比は$3$、項数は$n$です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

これを用いると、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

二つ目の総和は定数の和です。

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

したがって、元の総和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (3^k + 2) = \frac{3(3^n - 1)}{2} + 2n$

$\frac{3(3^n - 1)}{2} + 2n = \frac{3 \cdot 3^n - 3}{2} + 2n = \frac{3^{n+1} - 3 + 4n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3^{n+1} - 3 + 4n}{2}$