整式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが4、$x+3$ で割った余りが-21のとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求めよ。

## Q3.12

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x-2$ で割った余りが4、$x+3$ で割った余りが-21のとき、$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x+3)$ で割ったときの余りは、1次式 $ax+b$ で表せる。

したがって、

$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

$P(2) = 4$ より、

$P(2) = 2a + b = 4$ ...(1)

$P(-3) = -21$ より、

$P(-3) = -3a + b = -21$ ...(2)

(1) - (2) より、

$5a = 25$

$a = 5$

これを(1)に代入すると、

$2(5) + b = 4$

$10 + b = 4$

$b = -6$

したがって、求める余りは $5x-6$ である。

3. 最終的な答え

$5x-6$