与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの中身を展開します。

$(2k-1)(2k+3)k = (4k^2 + 6k - 2k - 3)k = (4k^2 + 4k - 3)k = 4k^3 + 4k^2 - 3k$

したがって、求める和は以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 4k^2 - 3k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k$, $\sum_{k=1}^{n} k^2$, $\sum_{k=1}^{n} k^3$ はそれぞれ以下の公式で計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

したがって、

$4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k = 4 (\frac{n(n+1)}{2})^2 + 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2}$

$= n(n+1) [ n(n+1) + \frac{2}{3}(2n+1) - \frac{3}{2}]$

$= n(n+1) [ n^2 + n + \frac{4n}{3} + \frac{2}{3} - \frac{9}{6}]$

$= n(n+1) [ n^2 + n + \frac{4n}{3} + \frac{4}{6} - \frac{9}{6}]$

$= n(n+1) [ n^2 + \frac{7n}{3} - \frac{5}{6}]$

$= n(n+1) \frac{6n^2 + 14n - 5}{6}$

$= \frac{n(n+1)(6n^2+14n-5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(6n^2+14n-5)}{6}$