$x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ であるとき、$x+y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ であるとき、$x+y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ を有理化します。

$x = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

$x = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{6-2}$

$x = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4}$

$x = \frac{8 - 2\sqrt{4 \cdot 3}}{4}$

$x = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4}$

$x = 2 - \sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ を有理化します。

$y = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}$

$y = \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{6-2}$

$y = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4}$

$y = \frac{8 + 2\sqrt{4 \cdot 3}}{4}$

$y = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4}$

$y = 2 + \sqrt{3}$

したがって、$x+y = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})$

$x+y = 4$

3. 最終的な答え

$x+y = 4$