2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。 (1) Aの固有値を求める。 (2) Aの各固有値に属する固有ベクトルを1つ求める。 (3) 2つの数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...) を満たすとする。このとき、数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答える。

(1) Aの固有値を求める。

(2) Aの各固有値に属する固有ベクトルを1つ求める。

(3) 2つの数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ が $\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} a_{n+1} \\ b_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ (n = 1, 2, 3, ...) を満たすとする。このとき、数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を満たす。ここで $I$ は単位行列である。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda = 2, 4$ である。

(2) 固有ベクトルを求める。

(i) $\lambda = 2$ のとき、固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、 $(A - 2I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす。

$\begin{pmatrix} 3-2 & 1 \\ 1 & 3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、 $x + y = 0$ より $y = -x$ である。 $x = 1$ とすると、 $y = -1$ となる。

したがって、固有値 $\lambda = 2$ に属する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ である。

(ii) $\lambda = 4$ のとき、固有ベクトルを $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、 $(A - 4I)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす。

$\begin{pmatrix} 3-4 & 1 \\ 1 & 3-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

よって、 $-x + y = 0$ より $y = x$ である。 $x = 1$ とすると、 $y = 1$ となる。

したがって、固有値 $\lambda = 4$ に属する固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。

(3) 数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ を固有ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表す。

$\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = c_1 2^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 4^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$n=1$ のとき、$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、$c_1 + c_2 = 1$ かつ $-c_1 + c_2 = 1$ である。

これを解くと、$c_1 = 0$ , $c_2 = 1$ となる。

したがって、 $\begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix} = 4^{n-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

よって、$a_n = 4^{n-1}$ , $b_n = 4^{n-1}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 固有値：2, 4

(2) 固有ベクトル：

$\lambda=2$ に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

$\lambda=4$ に対する固有ベクトル：$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 一般項：$a_n = 4^{n-1}$, $b_n = 4^{n-1}$