集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{1, 3, 6, -a^2 + 5a\}$ と集合 $B = \{2, 4, 8, 2a+1, -a+7\}$ が与えられている。$A \cap B = \{3, 4\}$ となるような $a$ の値を求め、そのときの $A \cup B$ の要素の個数を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{3, 4\}$ より、3と4は集合AとBの両方に含まれる。

まず、Aについて考えると、3は既にAに含まれているので、4または $-a^2 + 5a$ が4になる必要がある。

同様に、Bについて考えると、4は既にBに含まれているので、3または $2a+1$ または $-a+7$ が3になる必要がある。

(1) Aについて場合分け：

(i) $-a^2 + 5a = 4$ の場合

$a^2 - 5a + 4 = 0$

$(a-1)(a-4) = 0$

$a = 1, 4$

(2) Bについて場合分け：

(i) $2a+1 = 3$ の場合

$2a = 2$

$a = 1$

(ii) $-a+7 = 3$ の場合

$-a = -4$

$a = 4$

したがって、$a=1$ または $a=4$ の可能性がある。

(3) a=1 の場合：

$A = \{1, 3, 6, -1^2 + 5(1)\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(1)+1, -1+7\} = \{2, 4, 8, 3, 6\}$

このとき、$A \cap B = \{3, 4, 6\} \neq \{3, 4\}$ より、不適。

(4) a=4 の場合：

$A = \{1, 3, 6, -4^2 + 5(4)\} = \{1, 3, 6, -16+20\} = \{1, 3, 6, 4\}$

$B = \{2, 4, 8, 2(4)+1, -4+7\} = \{2, 4, 8, 9, 3\}$

このとき、$A \cap B = \{3, 4\}$ となる。

したがって、$a = 4$ である。

このとき、$A = \{1, 3, 6, 4\}$ であり、$B = \{2, 4, 8, 9, 3\}$ である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9\}$

$A \cup B$ の要素の個数は 7個である。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A \cup B$ の要素の個数は 7個