問題文は、2つの不等式 $x - 2a \ge -3$ ... (1) $|x+a-2| < 6$ ... (2) が与えられ、以下の小問に答える形式となっています。 (3) 不等式(2)の解を$a$を用いて表し、不等式(2)と連立不等式(1),(2)の解が一致する条件を求める。さらに、$a$の範囲を求める。

1. 問題の内容

問題文は、2つの不等式

$x - 2a \ge -3$ ... (1)

$|x+a-2| < 6$ ... (2)

が与えられ、以下の小問に答える形式となっています。

(3) 不等式(2)の解を$a$を用いて表し、不等式(2)と連立不等式(1),(2)の解が一致する条件を求める。さらに、$a$の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(3)

まず、不等式(2)を解く。

$|x+a-2| < 6$ は、 $-6 < x+a-2 < 6$ と同値。

各辺から$a-2$を引くと、 $-6-(a-2) < x < 6-(a-2)$。

つまり、$-a-4 < x < -a+8$ となる。したがって、シに-4、ソに8が入る。

$A = \{ x | x \ge 2a-3 \}$, $B = \{ x | -a-4 < x < -a+8 \}$ とする。

連立不等式(1),(2)の解が一致するとき、$A \cap B = A$ となるので、タに入るのは①。

これは、$A \subset B$ であることを意味する。

したがって、チに入る記号は$\subset$。したがって、(4)が適切である。

連立不等式(1),(2)の解が一致するためには、$2a-3 > -a-4$ かつ $2a-3 < -a+8$。

$2a-3$は$x$の最小値であり、 $-a-4$は集合Bの最小値である。

つまり、$2a-3$が集合Bの範囲に含まれていれば良いので、$2a-3 > -a-4$を満たす必要がある。

また、$2a-3$は$-a+8$より小さい必要があるので、$2a-3 < -a+8$を満たす必要がある。

$2a - 3 > -a - 4$ より $3a > -1$ なので $a > -1/3$。

$2a - 3 < -a + 8$ より $3a < 11$ なので $a < 11/3$。

よって、$a$の範囲は $-\frac{1}{3} < a < \frac{11}{3}$ となる。

したがって、スは0、セは1、ツは1となる。

テトは1、ナは3。

3. 最終的な答え

シ: -4

ス: 0 (>)

セ: 1 (<)

ソ: 8

チ: 4 ($\subset$)

ツ: 1 (<)

タ: 1 ($A \cap B = A$)

テト: 1

ナ: 3