与えられた漸化式 $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n$ から、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3n$ から、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+1} - a_n = 3n$

次に、$n = 1, 2, ..., n-1$ を代入し、辺々を加えます。

$a_2 - a_1 = 3(1)$

$a_3 - a_2 = 3(2)$

...

$a_n - a_{n-1} = 3(n-1)$

これらの式を足し合わせると、左辺は $a_n - a_1$ となり、右辺は $3(1 + 2 + ... + (n-1))$ となります。

よって、

$a_n - a_1 = 3 \sum_{k=1}^{n-1} k = 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_1 = 1$ であるから、

$a_n = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} = \frac{2 + 3n^2 - 3n}{2}$

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 3n + 2}{2}$