集合 $A = \{x \mid x - 2a \geq -3\}$ と集合 $B = \{x \mid |x + a - 2| < 6\}$ が与えられている。連立不等式 $$ \begin{cases} x - 2a \geq -3 \\ |x + a - 2| < 6 \end{cases} $$ の解と、不等式 $|x + a - 2| < 6$ の解が一致するとき、$A \cap B = B$ が成り立ち、このとき $A \supset B$ という関係が成り立つ。このときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \mid x - 2a \geq -3\}$ と集合 $B = \{x \mid |x + a - 2| < 6\}$ が与えられている。連立不等式

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\begin{cases}

x - 2a \geq -3 \\

|x + a - 2| < 6

\end{cases}

$$$$

の解と、不等式 $|x + a - 2| < 6$ の解が一致するとき、$A \cap B = B$ が成り立ち、このとき $A \supset B$ という関係が成り立つ。このときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ の不等式 $x - 2a \geq -3$ を解くと、$x \geq 2a - 3$ となる。

次に、集合 $B$ の不等式 $|x + a - 2| < 6$ を解く。絶対値の不等式なので、

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-6 < x + a - 2 < 6

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各辺に $-(a - 2)$ を足すと

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-6 - (a - 2) < x < 6 - (a - 2)

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-4 - a < x < 8 - a

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となる。

連立不等式の解と $B$ の不等式の解が一致するということは、

$A \cap B = B$ であり、$A \supset B$ が成り立つということなので、$B \subset A$ である。つまり、$x \geq 2a - 3$ が $-4 - a < x < 8 - a$ を含む必要がある。

したがって、$2a - 3 \leq -4 - a$ が成り立つ必要がある。これを解くと、

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2a - 3 \leq -4 - a

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3a \leq -1

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a \leq -\frac{1}{3}

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となる。

3. 最終的な答え

$a \leq -\frac{1}{3}$