与えられた対数の式を整理（計算）する問題です。具体的には以下の４つの問題を解きます。 (1) $\log_2 16$ (2) $\log_7 1$ (3) $\log_{\sqrt{2}} 8$ (4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を整理（計算）する問題です。具体的には以下の４つの問題を解きます。

(1) $\log_2 16$

(2) $\log_7 1$

(3) $\log_{\sqrt{2}} 8$

(4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 16$

16を2の累乗で表します。$16 = 2^4$なので、

$\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$

(2) $\log_7 1$

任意の底aにおいて、$\log_a 1 = 0$ です。したがって、

$\log_7 1 = 0$

(3) $\log_{\sqrt{2}} 8$

まず、$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$と$8 = 2^3$と表します。すると、

$\log_{\sqrt{2}} 8 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^3$

底の変換公式 $\log_{a^p} b^q = \frac{q}{p} \log_a b$ を用いると、

$\log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 6 \cdot 1 = 6$

(4) $\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3}$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いると、

$\log_2 24 + \log_2 \frac{8}{3} = \log_2 \left(24 \cdot \frac{8}{3}\right) = \log_2 (8 \cdot 8) = \log_2 64$

$64 = 2^6$なので、

$\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 0

(3) 6

(4) 6