集合 $A = \{x | x - 2a \ge -3 \}$ と集合 $B = \{x | |x + a - 2| < 6 \}$ が与えられている。不等式 $|x+a-2| < 6$ の解と、連立不等式 \begin{cases} x - 2a \ge -3 \\ |x+a-2| < 6 \end{cases} の解が一致するとき、$A \cap B = B$ となり、$A \supset B$ という関係が成り立つ。このとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x | x - 2a \ge -3 \}$ と集合 $B = \{x | |x + a - 2| < 6 \}$ が与えられている。不等式 $|x+a-2| < 6$ の解と、連立不等式

\begin{cases}

x - 2a \ge -3 \\

|x+a-2| < 6

\end{cases}

の解が一致するとき、$A \cap B = B$ となり、$A \supset B$ という関係が成り立つ。このとき、$a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を表す不等式を解くと、

$x \ge 2a - 3$

$B$ を表す不等式を解くと、

$-6 < x + a - 2 < 6$

$-6 - a + 2 < x < 6 - a + 2$

$-a - 4 < x < 8 - a$

連立不等式の解が$|x+a-2|<6$ の解と一致するとき、$A \cap B = B$ となるためには、$B \subset A$ となる必要がある。

つまり、集合 $B$ に含まれるすべての $x$ が $A$ に含まれる必要がある。

$x \ge 2a - 3$ が成り立つためには、$-a - 4 < x < 8 - a$ において、

$2a - 3 \le -a - 4$

となれば良い。

この不等式を解く。

$2a + a \le -4 + 3$

$3a \le -1$

$a \le -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$a \le -\frac{1}{3}$