与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{12}{5\sqrt{6}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$ (3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ (4) $\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3}$

はい、承知いたしました。与えられた問題の分母を有理化します。

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{12}{5\sqrt{6}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

(4) $\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3}$

2. 解き方の手順

分母の有理化は、分母にルートを含む場合に、分母と分子に適切な値を掛けて分母からルートをなくす操作です。

(1) $\frac{12}{5\sqrt{6}}$

分母分子に$\sqrt{6}$を掛けます。

$\frac{12}{5\sqrt{6}} = \frac{12 \times \sqrt{6}}{5\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{5 \times 6} = \frac{12\sqrt{6}}{30} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+2}$

分母分子に$\sqrt{5}-2$を掛けます。（$(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 5-4 = 1$を利用）

$\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1 \times (\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2) \times (\sqrt{5}-2)} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

分母分子に$\sqrt{5}+\sqrt{3}$を掛けます。（$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 5-3 = 2$を利用）

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times (\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3}) \times (\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{5-3} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3}$

分母分子に$2\sqrt{3}-3$を掛けます。（$(2\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}-3) = 12-9 = 3$を利用）

$\frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}+3} = \frac{(2\sqrt{3}-3) \times (2\sqrt{3}-3)}{(2\sqrt{3}+3) \times (2\sqrt{3}-3)} = \frac{(2\sqrt{3}-3)^2}{12-9} = \frac{(2\sqrt{3})^2 - 2 \times 2\sqrt{3} \times 3 + 3^2}{3} = \frac{12 - 12\sqrt{3} + 9}{3} = \frac{21 - 12\sqrt{3}}{3} = 7 - 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\sqrt{5}-2$

(3) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

(4) $7 - 4\sqrt{3}$