確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられています。 $f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ (a) 期待値 $E(X)$ を求めなさい。 (b) 分散 $V(X)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が次のように与えられています。

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

(a) 期待値 $E(X)$ を求めなさい。

(b) 分散 $V(X)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ を求める。

期待値は $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ で計算できます。

この場合、$f(x)$ は $0 \le x \le 2$ の範囲でしか定義されていないため、積分範囲は $0$ から $2$ になります。

$E(X) = \int_0^2 x \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx$

$E(X) = \int_0^2 \left( -\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right) dx$

$E(X) = \left[ -\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3 \right]_0^2$

$E(X) = -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3)$

$E(X) = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8)$

$E(X) = -3 + 4$

$E(X) = 1$

(b) 分散 $V(X)$ を求める。

分散は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

$E(X^2) = \int_0^2 x^2 \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx$

$E(X^2) = \int_0^2 \left( -\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3 \right) dx$

$E(X^2) = \left[ -\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4 \right]_0^2$

$E(X^2) = -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4)$

$E(X^2) = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16)$

$E(X^2) = -\frac{96}{20} + \frac{48}{8}$

$E(X^2) = -\frac{24}{5} + 6$

$E(X^2) = -\frac{24}{5} + \frac{30}{5}$

$E(X^2) = \frac{6}{5}$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$V(X) = \frac{6}{5} - (1)^2$

$V(X) = \frac{6}{5} - 1$

$V(X) = \frac{6}{5} - \frac{5}{5}$

$V(X) = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(a) 期待値 $E(X) = 1$

(b) 分散 $V(X) = \frac{1}{5}$