確率変数 $X$ の確率密度関数が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases} $ (a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。 (b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

(a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。

(b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ の計算

期待値は定義より、

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

$f(x)$ は $0 \le x \le 2$ の範囲でのみ $0$ でないので、

$E(X) = \int_{0}^{2} x (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx$

$= \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2) dx$

$= [-\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3]_{0}^{2}$

$= -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3) - 0 = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8) = -3 + 4 = 1$

(b) 分散 $V(X)$ の計算

分散は定義より、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$E(X) = 1$ なので、$E(X^2)$ を求める。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$

$= \int_{0}^{2} x^2 (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx$

$= \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3) dx$

$= [-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4]_{0}^{2}$

$= -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4) - 0 = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16) = -\frac{96}{20} + \frac{48}{8} = -\frac{24}{5} + 6 = \frac{-24+30}{5} = \frac{6}{5}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - (1)^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{6-5}{5} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(a) $E(X) = 1$

(b) $V(X) = \frac{1}{5}$