$x$ の2次関数 $y = x^2 + 2bx + 6 + 2b$ が与えられています。 (1) この2次関数の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $b$ の式で表します。 (2) $b$ を変化させるとき、$m$ の最大値と、そのときの $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の2次関数 $y = x^2 + 2bx + 6 + 2b$ が与えられています。

(1) この2次関数の最小値を $m$ とするとき、$m$ を $b$ の式で表します。

(2) $b$ を変化させるとき、$m$ の最大値と、そのときの $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2bx + 6 + 2b$ を平方完成します。

$y = (x^2 + 2bx) + 6 + 2b$

$y = (x + b)^2 - b^2 + 6 + 2b$

よって、頂点の $y$ 座標は $-b^2 + 2b + 6$ です。

$y = x^2 + 2bx + 6 + 2b$ のグラフは下に凸の放物線なので、最小値 $m$ は頂点の $y$ 座標に等しくなります。

したがって、$m = -b^2 + 2b + 6$ となります。

(2) $m = -b^2 + 2b + 6$ を平方完成します。

$m = -(b^2 - 2b) + 6$

$m = -(b - 1)^2 + 1 + 6$

$m = -(b - 1)^2 + 7$

$m = -(b - 1)^2 + 7$ は上に凸の放物線なので、最大値は頂点の $y$ 座標に等しくなります。

$m$ の最大値は $7$ であり、そのときの $b$ の値は $1$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m = -b^2 + 2b + 6$

(2) $m$ の最大値は $7$ であり、そのときの $b$ の値は $1$ である。