$a > 0$, $b > 0$ の双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(p, q)$ を $x > 0$ の部分にとる。このとき、 $b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2 > 0$ したがって $bp - aq > 0$ かつ $bp + aq > 0$ である 「なぜですか？」という問いです。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ の双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $P(p, q)$ を $x > 0$ の部分にとる。このとき、

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2 > 0$

したがって

$bp - aq > 0$ かつ $bp + aq > 0$ である

「なぜですか？」という問いです。

2. 解き方の手順

まず、点 $P(p, q)$ が双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上にあることから、

$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$ が成り立ちます。

この式に $a^2 b^2$ を掛けると、

$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2$

となります。

問題文では $a^2 b^2 > 0$ と書いてありますが、これは $a > 0$ かつ $b > 0$ であることから当然です。

したがって、$b^2 p^2 - a^2 q^2 > 0$ が成り立ちます。

これは、$(bp - aq)(bp + aq) > 0$ と因数分解できます。

$P(p, q)$ は $x > 0$ の部分にとるので、$p > 0$ です。

また、$b > 0$ なので、$bp > 0$です。

もし $bp + aq < 0$ であれば、$aq < -bp < 0$ となり、$q < 0$です。

このとき、$bp - aq > 0$ なので、$bp > aq$ となります。

$aq < 0$なので、$bp > aq$は常に成り立ちます。

$bp + aq < 0$のとき、$p, q$は双曲線$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$の下半分に存在することになります。

ここで、$bp + aq > 0$となる理由を考えます。

$b^2p^2-a^2q^2 = (bp-aq)(bp+aq) = a^2b^2 > 0$であることから、$bp-aq>0$と$bp+aq>0$は同符号である必要があります。

$P$は双曲線の$x>0$の部分にあるので、$bp-aq>0$であると仮定します。（$q$の値によっては$bp<aq$となる場合もありますが、いずれにせよ、$b^2p^2-a^2q^2>0$なので、$bp-aq$と$bp+aq$は同符号でなければいけません。）

もし、$bp + aq < 0$とすると、$bp < -aq$。

ここで、$b^2p^2 - a^2q^2 = (bp - aq)(bp + aq) > 0$なので、$bp - aq$と$bp + aq$は同符号なので、$bp - aq < 0$。

$bp < aq$となるので矛盾します。

したがって、$bp + aq > 0$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

点 $P(p, q)$ が双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の $x > 0$ の部分にあることから、$b^2 p^2 - a^2 q^2 = a^2 b^2 > 0$ が成り立ちます。これは $(bp - aq)(bp + aq) > 0$ と同値です。$bp - aq > 0$ と $bp + aq > 0$ は同符号である必要があり、$p$ が正であることから、$bp + aq > 0$ が成り立ちます。