平行四辺形ABCDにおいて、AD = 4 cm, $\angle ABC = 75^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$, $\angle DEC = 15^\circ$である。線分BEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AD = 4 cm, $\angle ABC = 75^\circ$, $\angle ACD = 90^\circ$, $\angle DEC = 15^\circ$である。線分BEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行四辺形の性質から、AD = BC = 4 cmである。また、$\angle ABC = \angle ADC = 75^\circ$である。

$\triangle ACD$は直角三角形なので、$\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$である。

次に、$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$

$\angle DCE = \angle ACB - \angle ACE = 75^\circ - \angle ACE$ である。

$\angle CED = 15^\circ$より、$\triangle CDE$において、

$\angle DCE = 180^\circ - 90^\circ - \angle CED = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$

$\angle BCE = 180^\circ - \angle DCE = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\angle BEC = 180^\circ - \angle DEC = 180^\circ - 15^\circ = 165^\circ$

したがって、$\angle CBE = 180^\circ - \angle BCE - \angle BEC = 180^\circ - (75^\circ+15^\circ)-75^\circ = 75^\circ$

したがって$\angle ABC = \angle DEC + \angle EBC = 15^\circ+\angle ACE$

$\angle BCE = \angle ABC - \angle ABE = 75^{\circ} - 75^{\circ} = 0$

$\angle BEC = \angle ACE + \angle EBC$

$\angle BCE = 180 - (\angle ABC + \angle BEC) = 180 - (75 + 165) = 180 - 165 = 15$

平行四辺形の対辺は平行なので、AD // BC。よって、$\angle DAC = \angle ACB$ (錯角)。

$\triangle ACD$は直角三角形なので、$\angle DAC = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$

よって、$\angle ACB = 15^\circ$

したがって、$\angle DCE = \angle ACB = 15^\circ$

$\triangle DEC$において、$\angle EDC = 180^\circ - \angle DEC - \angle DCE = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

$\angle BCE = \angle BCD - \angle DCE = 105^\circ - 15^\circ = 90^\circ$

$\triangle BEC$において、$\angle BEC = 15^\circ$なので$\triangle BEC$は直角二等辺三角形となる

$\angle CBE = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ$

$\angle CBE = \angle ABC = 75^\circ$

$\triangle DEC$において、$\angle CDE = 90^{\circ}-15^{\circ} = 75^{\circ}$

$\angle ADC = 75^{\circ}$であるため、$\angle ADE = \angle ADC - \angle CDE = 75^{\circ} - 75^{\circ} = 0^{\circ}$

$\angle ADC=75^\circ$, $\angle ACD=90^\circ$

$\angle CAD=15^\circ$

平行四辺形の対角は等しいので、$\angle ABC=75^\circ$

$\angle ACB = \angle CAD = 15^\circ$

$\triangle BEC$において、

$\angle BEC = 15^\circ$

$\angle BCE = \angle BCD - \angle DCE = 180^\circ - \angle ABC - \angle DCE$

$\angle DEC = 15^\circ$

$\angle ACD = 90^{\circ}$

$\angle ADC = 75^{\circ}$

$\angle CAD = 15^{\circ}$

$\angle ACB = 15^{\circ}$

$\angle ABC = 75^{\circ}$

$\angle CBA = 75^{\circ}$

$\angle BAC = \angle BDA = 105^{\circ}$

$\angle DEC=15^{\circ}$

$AD = BC = 4cm$

$\triangle DEC$ で $\angle DCE = 15^{\circ}$なので$DE = CE$ の 二等辺三角形

$\triangle BEC$ 二等辺三角形なので$BE = CE$

$\angle DCE=15^\circ$。 $\triangle CDE$ で，$CD = \frac{CE}{\cos 15} = \frac{CE \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$CD = AB$

$\angle CBE = 75^{\circ}$より

正弦定理より$\frac{BE}{\sin DCE} = \frac{CE}{\sin CBE}$

$\frac{BE}{\sin 15} = \frac{CE}{\sin 75}$

$BE = \frac{\sin 15}{\sin 75} \cdot CE = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot CE = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} \cdot CE = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = (2 - \sqrt{3}) \cdot CE$

$CE = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} / CE$

$BE=1$

$\triangle BEC$について、$\angle BCE = \angle BCD-\angle ECD$、平行四辺形の隣り合う角の和は$180^\circ$なので$\angle BCD = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$。また、平行四辺形の対辺は等しいので$BC = 4$

$\angle ACB = \angle CAD = 15^\circ$ 、 $\angle DCE = 180 - (\angle ABE + \angle CBE +90)=15$ より$\angle ECD = 15^\circ$。

$\triangle EDC = 15 +15+DE = 180°$ より$\angle EDC =150$。

$\triangle ABE$ において$\angle EBA + \angle BEA+\angle EAB = 180 =75 + \angle EAB$

3. 最終的な答え

1 cm