$A$ は $m \times n$ 行列、$Q$ は $n$ 次正則行列とする。$AQ$ を係数行列、$\mathbf{x}$ を未知数ベクトル、$\mathbf{b}$ を定数項ベクトルとする連立一次方程式 $(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件が $\mathrm{rank}[A, \mathbf{b}] = \mathrm{rank} A$ であることを示す問題。ただし、$ \mathbf{y} = Q\mathbf{x}$ と未知数を置き換えて $\mathbf{y}$ の方程式が解をもつための条件を求め、 $Q$ が正則であることから $\mathbf{x}$ の方程式が解をもつことと $\mathbf{y}$ の方程式が解をもつことが同値であることを利用する。

1. 問題の内容

$A$ は $m \times n$ 行列、$Q$ は $n$ 次正則行列とする。$AQ$ を係数行列、$\mathbf{x}$ を未知数ベクトル、$\mathbf{b}$ を定数項ベクトルとする連立一次方程式 $(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件が $\mathrm{rank}[A, \mathbf{b}] = \mathrm{rank} A$ であることを示す問題。ただし、$\mathbf{y} = Q\mathbf{x}$ と未知数を置き換えて $\mathbf{y}$ の方程式が解をもつための条件を求め、 $Q$ が正則であることから $\mathbf{x}$ の方程式が解をもつことと $\mathbf{y}$ の方程式が解をもつことが同値であることを利用する。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbf{y} = Q\mathbf{x}$ とおく。すると、$(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ は $A(Q\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ と書けるので、$A\mathbf{y} = \mathbf{b}$ となる。

この連立一次方程式 $A\mathbf{y} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件は、拡大係数行列 $[A, \mathbf{b}]$ のランクと係数行列 $A$ のランクが等しいこと、つまり $\mathrm{rank}[A, \mathbf{b}] = \mathrm{rank} A$ である。

次に、$Q$ が正則行列であることから、$\mathbf{y} = Q\mathbf{x}$ は一対一対応である。つまり、$\mathbf{x}$ の方程式 $(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつことと、$\mathbf{y}$ の方程式 $A\mathbf{y} = \mathbf{b}$ が解をもつことは同値である。

したがって、$(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件は、$A\mathbf{y} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件、つまり $\mathrm{rank}[A, \mathbf{b}] = \mathrm{rank} A$ となる。

3. 最終的な答え

$(AQ)\mathbf{x} = \mathbf{b}$ が解をもつための必要十分条件は、$\mathrm{rank}[A, \mathbf{b}] = \mathrm{rank} A$ である。