全体集合$U$、部分集合$A, B$について、$n(U)=100, n(A)=36, n(B)=42, n(A \cap B)=15$であるとき、以下の個数を求める。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$、部分集合$A, B$について、$n(U)=100, n(A)=36, n(B)=42, n(A \cap B)=15$であるとき、以下の個数を求める。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$ は、$U$の中で$A$に含まれない要素の数なので、$n(U)$から$n(A)$を引けばよい。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B})$ は、$U$の中で$B$に含まれない要素の数なので、$n(U)$から$n(B)$を引けばよい。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B})$ は、$U$の中で$A \cap B$に含まれない要素の数なので、$n(U)$から$n(A \cap B)$を引けばよい。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 100 - 15 = 85$

(4) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。まず、$n(A \cup B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 36 + 42 - 15 = 78 - 15 + 15 = 63$

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - (36 + 42 - 15) = 100 - (78 - 15) = 100 - 63 = 37$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 85$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 37$