放物線 $y=3(x+2)^2-3$ (①) について、以下の手順で変形を行い、それぞれの放物線の式を求め、最後に直線 $y=1$ に関して対称移動した放物線の式を求める問題です。 (1) 放物線①をx軸方向に-1だけ平行移動(②)。 (2) ②をy軸に関して対称移動(③)。 (3) ③をx軸方向にアだけ平行移動(④)。 (4) 放物線①を直線 $y=1$ に関して対称移動する。

1. 問題の内容

放物線 $y=3(x+2)^2-3$ (①) について、以下の手順で変形を行い、それぞれの放物線の式を求め、最後に直線 $y=1$ に関して対称移動した放物線の式を求める問題です。

(1) 放物線①をx軸方向に-1だけ平行移動(②)。

(2) ②をy軸に関して対称移動(③)。

(3) ③をx軸方向にアだけ平行移動(④)。

(4) 放物線①を直線 $y=1$ に関して対称移動する。

2. 解き方の手順

(1)

[A] ①をx軸方向に-1だけ平行移動すると、

$y = 3(x+2+1)^2-3 = 3(x+3)^2-3$ となる。

よって、②の方程式は ④ $y=3(x+3)^2-3$ なので、イ = ④

[B] ②をy軸に関して対称移動すると、

$y = 3(-x+3)^2-3 = 3(x-3)^2-3$ となる。

よって、③の方程式は ① $y=3(x-3)^2-3$ なので、ウ = ①

[C] ④が①を $x=1$ に関して対称移動して得られる放物線である。

①の軸は $x=-2$

$x=1$ に関して対称な点のx座標は $x' = 1 + (1 - (-2)) = 1 + 3 = 4$

したがって、④の軸は $x=4$ となる。

③の軸は $x=3$ なので、$x$ 軸方向に $4-3=1$ だけ平行移動すると④になる。

ア = 1

$y=3(x-3-1)^2-3 = 3(x-4)^2-3$

よって、④の方程式は ② $y=3(x-4)^2-3$ なので、エ = ②

(2)

① $y=3(x+2)^2-3$ を $y=1$ に関して対称移動する。

$y=1$に関して対称移動すると、$y'$ とすると、

$\frac{y + y'}{2} = 1$ より、$y' = 2 - y$

$y' = 2 - (3(x+2)^2 - 3) = 2 - 3(x^2 + 4x + 4) + 3 = 5 - 3x^2 - 12x - 12 = -3x^2 - 12x - 7$

よって、$y = -3x^2 - 12x - 7$

3. 最終的な答え

(1)

ア = 1

イ = ④

ウ = ①

エ = ②

(2)

y = -3x^2 - 12x - 7

オカ = -3

キク = -12

ケ = -7