与えられた式 $(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})(1+\sqrt{2} - \sqrt{3})$ を計算します。

2. 解き方の手順

この式は、 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形に変形できることに着目します。ここで、 $A = 1+\sqrt{2}$、 $B = \sqrt{3}$ とおくと、与えられた式は $(A+B)(A-B)$ となります。

したがって、

$(1+\sqrt{2} + \sqrt{3})(1+\sqrt{2} - \sqrt{3}) = (1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$

となります。

次に、 $(1+\sqrt{2})^2$ を計算します。

$(1+\sqrt{2})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (3 + 2\sqrt{2}) - 3 = 2\sqrt{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$