与えられた式 $\sqrt[5]{a^3 \times \sqrt[4]{a}}$ を簡略化してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[5]{a^3 \times \sqrt[4]{a}}$ を簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、内側の根号 $\sqrt[4]{a}$ を指数表記に変換します。

$\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$

次に、この結果を元の式に代入します。

$\sqrt[5]{a^3 \times a^{\frac{1}{4}}}$

根号の中の $a^3$ と $a^{\frac{1}{4}}$ を掛け合わせます。指数の法則により、$a^m \times a^n = a^{m+n}$ なので、

$a^3 \times a^{\frac{1}{4}} = a^{3 + \frac{1}{4}} = a^{\frac{12}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{13}{4}}$

元の式は次のようになります。

$\sqrt[5]{a^{\frac{13}{4}}}$

次に、外側の根号を指数表記に変換します。

$\sqrt[5]{a^{\frac{13}{4}}} = (a^{\frac{13}{4}})^{\frac{1}{5}}$

指数の法則により、 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ なので、

$(a^{\frac{13}{4}})^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{13}{4} \times \frac{1}{5}} = a^{\frac{13}{20}}$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$a^{\frac{13}{20}}$

または、根号を用いて $\sqrt[20]{a^{13}}$と表現することもできます。