3つの基本ベクトル $e_1, e_2, e_3$ が与えられているとき、 $(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3)$ を第3段階の単位 $e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ を用いて表す。

1. 問題の内容

3つの基本ベクトル $e_1, e_2, e_3$ が与えられているとき、

$(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3)$ を第3段階の単位 $e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

外積の性質を用いて展開する。まず、第1項を展開する。

$(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3)$

$= (3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_2 - e_2 \wedge e_3)$

$e_2 \wedge e_2 = 0$ なので、

$= (3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_3)$

次に、分配法則を使って展開する。

$= 3e_1 \wedge e_1 \wedge e_2 + 3e_1 \wedge e_1 \wedge e_3 - 3e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_1 \wedge e_2 + e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_2 \wedge e_3 + e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_1 \wedge e_3 - e_3 \wedge e_2 \wedge e_3$

$e_1 \wedge e_1 = 0, e_2 \wedge e_2 = 0, e_3 \wedge e_3 = 0$ なので、

$= - 3e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 + e_3 \wedge e_1 \wedge e_2$

ここで、$e_2 \wedge e_1 = -e_1 \wedge e_2$, $e_3 \wedge e_1 = -e_1 \wedge e_3$, $e_3 \wedge e_2 = -e_2 \wedge e_3$ を用いる。

また、$e_1 \wedge e_3 = -e_3 \wedge e_1$, $e_1 \wedge e_2 = -e_2 \wedge e_1$ を用いる。

$e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 = -e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

$e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 = e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

したがって、

$= -3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

$= -3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

3. 最終的な答え

$-3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$