初項が2、公比が3である等比数列 $\{a_n\}$ において、初めて1000より大きくなるのは第何項か。

1. 問題の内容

初項が2、公比が3である等比数列 $\{a_n\}$ において、初めて1000より大きくなるのは第何項か。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

問題文より、$a_1 = 2$, $r = 3$ ですから、

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ となります。

初めて1000より大きくなる項を求めるので、以下の不等式を解きます。

$2 \cdot 3^{n-1} > 1000$

両辺を2で割ると、

$3^{n-1} > 500$

両辺の対数をとります。底が3の対数をとると計算が楽ですが、ここでは常用対数（底が10の対数）をとります。

$\log_{10} 3^{n-1} > \log_{10} 500$

対数の性質より、

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 500$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} (5 \cdot 10^2)$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 5 + \log_{10} 10^2$

$(n-1) \log_{10} 3 > \log_{10} 5 + 2$

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$, $\log_{10} 3 \approx 0.4771$ とします。$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 \approx 1 - 0.3010 = 0.6990$

$(n-1) \cdot 0.4771 > 0.6990 + 2$

$(n-1) \cdot 0.4771 > 2.6990$

$n-1 > \frac{2.6990}{0.4771} \approx 5.657$

$n > 6.657$

したがって、初めて1000より大きくなるのは第7項です。

3. 最終的な答え

第7項