$a > 0$ のとき、与えられた各式を $a^k$ の形で表す。具体的には、以下の10個の式をそれぞれ計算し、$a$ のべき乗の形で表現する。 (1) $a^4 \times a^3$ (2) $(a^4)^3$ (3) $a^6 \div a^3$ (4) $a^2 \div a^7$ (5) $\sqrt[2]{a} \times \sqrt[3]{a}$ (6) $\frac{\sqrt[3]{a}}{a^2}$ (7) $\sqrt[5]{a^3} \times \sqrt{a}$ (8) $(\frac{\sqrt[3]{a}}{a})^4$ (9) $\sqrt[8]{a^5} \times \sqrt{a} \times \sqrt[5]{a}$ (10) $(\frac{\sqrt[7]{a}}{a})^2 + (\frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[9]{a}})^3$

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、与えられた各式を $a^k$ の形で表す。具体的には、以下の10個の式をそれぞれ計算し、$a$ のべき乗の形で表現する。

(1) $a^4 \times a^3$

(2) $(a^4)^3$

(3) $a^6 \div a^3$

(4) $a^2 \div a^7$

(5) $\sqrt[2]{a} \times \sqrt[3]{a}$

(6) $\frac{\sqrt[3]{a}}{a^2}$

(7) $\sqrt[5]{a^3} \times \sqrt{a}$

(8) $(\frac{\sqrt[3]{a}}{a})^4$

(9) $\sqrt[8]{a^5} \times \sqrt{a} \times \sqrt[5]{a}$

(10) $(\frac{\sqrt[7]{a}}{a})^2 + (\frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[9]{a}})^3$

2. 解き方の手順

(1) $a^4 \times a^3 = a^{4+3} = a^7$

(2) $(a^4)^3 = a^{4 \times 3} = a^{12}$

(3) $a^6 \div a^3 = a^{6-3} = a^3$

(4) $a^2 \div a^7 = a^{2-7} = a^{-5}$

(5) $\sqrt[2]{a} \times \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3+2}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$

(6) $\frac{\sqrt[3]{a}}{a^2} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^2} = a^{\frac{1}{3} - 2} = a^{\frac{1-6}{3}} = a^{-\frac{5}{3}}$

(7) $\sqrt[5]{a^3} \times \sqrt{a} = a^{\frac{3}{5}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{5} + \frac{1}{2}} = a^{\frac{6+5}{10}} = a^{\frac{11}{10}}$

(8) $(\frac{\sqrt[3]{a}}{a})^4 = (\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a})^4 = (a^{\frac{1}{3} - 1})^4 = (a^{-\frac{2}{3}})^4 = a^{-\frac{8}{3}}$

(9) $\sqrt[8]{a^5} \times \sqrt{a} \times \sqrt[5]{a} = a^{\frac{5}{8}} \times a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{5}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{25+20+8}{40}} = a^{\frac{53}{40}}$

(10) $(\frac{\sqrt[7]{a}}{a})^2 + (\frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[9]{a}})^3 = (\frac{a^{\frac{1}{7}}}{a})^2 + (\frac{a^{\frac{1}{8}}}{a^{\frac{1}{9}}})^3 = (a^{\frac{1}{7} - 1})^2 + (a^{\frac{1}{8} - \frac{1}{9}})^3 = (a^{-\frac{6}{7}})^2 + (a^{\frac{9-8}{72}})^3 = a^{-\frac{12}{7}} + (a^{\frac{1}{72}})^3 = a^{-\frac{12}{7}} + a^{\frac{3}{72}} = a^{-\frac{12}{7}} + a^{\frac{1}{24}}$

問題文では、$a^k$の形で表すように指示されているため、$a^{-\frac{12}{7}} + a^{\frac{1}{24}}$のような和の形ではなく、それぞれの項を個別に求める必要があります。しかし、$a^{-\frac{12}{7}} + a^{\frac{1}{24}}$はこれ以上簡単になりません。この問題の意図とは異なる可能性があります。

3. 最終的な答え

(1) $a^7$

(2) $a^{12}$

(3) $a^3$

(4) $a^{-5}$

(5) $a^{\frac{5}{6}}$

(6) $a^{-\frac{5}{3}}$

(7) $a^{\frac{11}{10}}$

(8) $a^{-\frac{8}{3}}$

(9) $a^{\frac{53}{40}}$

(10) $a^{-\frac{12}{7}} + a^{\frac{1}{24}}$