次の不等式を解きます。 $4 - 2(\log_2 x)^2 + 9\log_8 (2x) < 1$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$4 - 2(\log_2 x)^2 + 9\log_8 (2x) < 1$

2. 解き方の手順

まず、$\log_8 (2x)$ を $\log_2 x$ で表します。底の変換公式を用いると、

$\log_8 (2x) = \frac{\log_2 (2x)}{\log_2 8}$

$\log_2 8 = 3$ なので、

$\log_8 (2x) = \frac{\log_2 (2x)}{3}$

$\log_2 (2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$ なので、

$\log_8 (2x) = \frac{1 + \log_2 x}{3}$

これを与えられた不等式に代入すると、

$4 - 2(\log_2 x)^2 + 9 \cdot \frac{1 + \log_2 x}{3} < 1$

$4 - 2(\log_2 x)^2 + 3(1 + \log_2 x) < 1$

$4 - 2(\log_2 x)^2 + 3 + 3\log_2 x < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 7 < 1$

$-2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x + 6 < 0$

$2(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 6 > 0$

$t = \log_2 x$ とおくと、

$2t^2 - 3t - 6 > 0$

この2次方程式の解は、解の公式より

$t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)}$

$t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{4}$

$t = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{4}$

したがって、$t < \frac{3 - \sqrt{57}}{4}$ または $t > \frac{3 + \sqrt{57}}{4}$

$\log_2 x < \frac{3 - \sqrt{57}}{4}$ または $\log_2 x > \frac{3 + \sqrt{57}}{4}$

$x < 2^{\frac{3 - \sqrt{57}}{4}}$ または $x > 2^{\frac{3 + \sqrt{57}}{4}}$

また、真数条件より、$x > 0$ が必要である。

3. 最終的な答え

$0 < x < 2^{\frac{3 - \sqrt{57}}{4}}$ または $x > 2^{\frac{3 + \sqrt{57}}{4}}$