$e_1, e_2, e_3$ を3つの基本ベクトルとする。(1) $(3e_1+e_2+e_3) \wedge (e_1-e_2) \wedge (e_2+e_3)$ を第3段階の単位 $e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$e_1, e_2, e_3$ を3つの基本ベクトルとする。(1) $(3e_1+e_2+e_3) \wedge (e_1-e_2) \wedge (e_2+e_3)$ を第3段階の単位 $e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、外積の性質を利用して簡略化します。外積の性質として、

$e_i \wedge e_i = 0$

$e_i \wedge e_j = - e_j \wedge e_i$

を利用します。

まず、$(e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3)$ を計算します。

$(e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3) = e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_2 - e_2 \wedge e_3 = e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_3$

次に、$(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_3)$ を計算します。

\begin{align*}

(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 \wedge e_2 + e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_3) &= 3e_1 \wedge e_1 \wedge e_2 + 3e_1 \wedge e_1 \wedge e_3 - 3e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 \\

&+ e_2 \wedge e_1 \wedge e_2 + e_2 \wedge e_1 \wedge e_3 - e_2 \wedge e_2 \wedge e_3 \\

&+ e_3 \wedge e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_1 \wedge e_3 - e_3 \wedge e_2 \wedge e_3 \\

&= 0 + 0 - 3e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 0 - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 0 + e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + 0 - 0 \\

&= -3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 - e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 + e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 \\

&= -3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3

\end{align*}

したがって、

$(3e_1 + e_2 + e_3) \wedge (e_1 - e_2) \wedge (e_2 + e_3) = -3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$

3. 最終的な答え

$-3 e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$