与えられた式 $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

ステップ1：式を$x$の二次式として整理します。

$2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2 = 2x^2 + (7y)x + (3y^2 + 5y - 2)$

ステップ2：定数項$3y^2 + 5y - 2$を因数分解します。

$3y^2 + 5y - 2 = (3y-1)(y+2)$

ステップ3：与えられた式を因数分解します。

$2x^2 + (7y)x + (3y-1)(y+2) = (ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形になると仮定し、係数を比較して因数を見つけます。

$(2x+y+2)(x+3y-1) = 2x^2 + 6xy - 2x + xy + 3y^2 - y + 4x + 6y - 2 = 2x^2 + 7xy + 3y^2 + 2x + 5y - 2$

これは最初の式と一致しないため、別の組み合わせを試します。

$(2x+3y-1)(x+y+2) = 2x^2 + 2xy + 4x + 3xy + 3y^2 + 6y - x - y - 2 = 2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 5y - 2$

これも一致しません。

正しい組み合わせは $(2x+y+2)(x+3y-1) = 2x^2 + 6xy -2x + xy + 3y^2 - y + 4x + 6y -2 = 2x^2 + 7xy + 2x + 3y^2 + 5y - 2$

式を因数分解すると以下のようになります。

$2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2 = (2x+y+a)(x+3y+b)$

$2x^2 + 6xy + bx + xy + 3y^2 + by + ax + 3ay + ab = 2x^2 + 7xy + (a+b)x + 3y^2 + (b+3a)y + ab$

$a+b = 0$なので、$b = -a$

$b + 3a = 5$なので、$-a + 3a = 5$　よって、$2a=5$ なので、$a = 5/2$

そして、$b = -5/2$

$ab = (5/2)(-5/2) = -25/4$

これは $-2$ではないため、上記の手順は正しくありません。

定数項を考慮して、次のように考えてみましょう。

$2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2 = (ax+by+c)(dx+ey+f)$

$2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2 = (2x+y+2)(x+3y-1)$

ステップ4：因数分解の結果を確認します。

$(2x+y+2)(x+3y-1) = 2x^2 + 6xy - 2x + xy + 3y^2 - y + 2x + 6y - 2 = 2x^2 + 7xy + 3y^2 + 5y - 2$

3. 最終的な答え

$(2x+y+2)(x+3y-1)$