問題は、実数 $a$ を用いて与えられた式を簡単にすることです。解答には誤った式変形が含まれており、その誤りを見つけて修正後の式を答える必要があります。問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。 (1) $\sqrt{a^2+2a+1}$ (2) $\sqrt{a^4+2a^2+1}$

1. 問題の内容

問題は、実数 $a$ を用いて与えられた式を簡単にすることです。解答には誤った式変形が含まれており、その誤りを見つけて修正後の式を答える必要があります。問題は2つあり、それぞれ以下の通りです。

(1) $\sqrt{a^2+2a+1}$

(2) $\sqrt{a^4+2a^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{a^2+2a+1}$ の解答について

ステップ1: $\sqrt{a^2+2a+1} = \sqrt{(a+1)^2}$ （①から②への式変形）

ステップ2: $\sqrt{(a+1)^2} = a+1$ （②から③への式変形）

ここで、$a$ が実数であるという条件だけが与えられているため、$a+1$ が負の値を取り得ることに注意する必要があります。一般に$\sqrt{x^2} = |x|$であるため、$\sqrt{(a+1)^2}$ は $a+1$ ではなく、$|a+1|$ になります。したがって、②から③への式変形が誤りです。

修正後の式は $|a+1|$ になります。

(2) $\sqrt{a^4+2a^2+1}$ の解答について

ステップ1: $\sqrt{a^4+2a^2+1} = \sqrt{(a^2+1)^2}$ （④から⑤への式変形）

ステップ2: $\sqrt{(a^2+1)^2} = a^2+1$ （⑤から⑥への式変形）

$a$は実数なので、$a^2 \geq 0$ です。したがって、$a^2 + 1 \geq 1 > 0$ であるため、$a^2+1$ は常に正です。つまり、$\sqrt{(a^2+1)^2} = |a^2+1| = a^2+1$ となります。したがって、⑤から⑥への式変形は正しいです。

一方、解答(1)と同様に、$\sqrt{x^2} = |x|$であるため、$\sqrt{(a^2+1)^2}$ は $a^2+1$ ではなく、$|a^2+1|$ になります。ただ、ここでは$a^2+1$は常に正なので、$\sqrt{(a^2+1)^2} = |a^2+1| = a^2+1$となり、誤りではありません。

したがって、誤っているのは②から③への式変形であり、正しくは $|a+1|$ となります。

3. 最終的な答え

誤りである式変形はB：②から③への式変形

修正後の式：$|a+1|$