$(\cos x)' = -\sin x$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$(\cos x)' = -\sin x$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義に従って計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$f(x) = \cos x$ の場合、

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$

三角関数の加法定理を用いて、$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ なので、

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}$

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin x \frac{\sin h}{h}$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ と $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ を用いると、

$(\cos x)' = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1$

$(\cos x)' = -\sin x$

3. 最終的な答え

$(\cos x)' = -\sin x$