与えられた6つの積分問題を解く。 (1) $\int \frac{x^3+4}{x} dx$ (2) $\int \frac{1}{3x+4} dx$ (3) $\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx$ (4) $\int e^{3x} dx$ (5) $\int \sqrt{x+1} dx$ (6) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの積分問題を解く。

(1) $\int \frac{x^3+4}{x} dx$

(2) $\int \frac{1}{3x+4} dx$

(3) $\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx$

(4) $\int e^{3x} dx$

(5) $\int \sqrt{x+1} dx$

(6) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^3+4}{x} dx$

まず被積分関数を整理する。

$\frac{x^3+4}{x} = x^2 + \frac{4}{x}$

よって、

$\int \frac{x^3+4}{x} dx = \int (x^2 + \frac{4}{x}) dx = \int x^2 dx + 4\int \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} + 4\ln|x| + C$

(2) $\int \frac{1}{3x+4} dx$

$u = 3x+4$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3}du$

$\int \frac{1}{3x+4} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C = \frac{1}{3} \ln|3x+4| + C$

(3) $\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であり、$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

$u = 2x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 2$ より $dx = \frac{1}{2}du$

$\int \frac{1}{\cos^2 2x} dx = \int \sec^2 u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sec^2 u du = \frac{1}{2} \tan u + C = \frac{1}{2} \tan 2x + C$

(4) $\int e^{3x} dx$

$u = 3x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3}du$

$\int e^{3x} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C$

(5) $\int \sqrt{x+1} dx$

$u = x+1$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 1$ より $dx = du$

$\int \sqrt{x+1} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} + C$

(6) $\int \frac{1}{\tan x} dx$

$\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ である。

$u = \sin x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $dx = \frac{1}{\cos x} du$

$\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{\cos x}{u} \frac{1}{\cos x} du = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + 4\ln|x| + C$

(2) $\frac{1}{3} \ln|3x+4| + C$

(3) $\frac{1}{2} \tan 2x + C$

(4) $\frac{1}{3} e^{3x} + C$

(5) $\frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} + C$

(6) $\ln |\sin x| + C$